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《费马大定理》推特读书笔记  

2011-06-20 08:43:28|  分类: 读书 |  标签: |举报 |字号 订阅

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费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜

(英)西蒙.辛格

译者: 薛密

上海译文出版社,2005.5

http://book.douban.com/subject/1322358/

 

1.     数学,较之别的艺术或科学,更是年轻人的游戏。在数学中,随着年龄而增长的经验似乎不如年轻人的勇气和直觉来得重要。许多数学家在30岁以前就完成了卓越的突破性工作。

2.     毕达哥拉斯是数学史上最具影响,又是最神秘的人物之一。毕达哥拉斯发展了关于数字的逻辑的思想,并且对数学发展的第一个黄金时期功不可没。

3.     毕达哥拉斯可能从埃及人和巴比伦人那里学到了许多数学技能和工具。这两个古老的民族当时已经超越了简单计数,能够进行复杂的计算。

4.     周游20年之后,毕达哥拉斯最后来到意大利克罗敦,建立了毕达哥拉斯兄弟会。兄弟会成员必须将他们所有财产捐献给公共基金。而成员如果离开该会,则可收到他们最初捐献的两倍财产,并竖立一块墓碑以志纪念。

5.     “哲学家”是毕达哥拉斯创造的名词。他说,最优秀的一类人献身于发现生活本身的意义和目的,他设法揭示自然的奥秘,这就是他称为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都很有智慧,但他能热爱知识,视其为揭开自然界奥秘的钥匙。

6.     兄弟会实际上是一个宗教性社团组织。他们崇拜的偶像之一是数。他们相信,通过了解数与数之间的关系,他们能够揭示宇宙的神圣的秘密,使他们自己更接近神。

7.     兄弟会寻找那些有特殊重要意义的数,其中包括完满数。完满数的因数之和恰好等于其本身。如6有因数123,其和正好是6。下一个完满数是28,然后是4968128,等等。

8.     两个世纪后,欧几里得发现完满数总是两个数的乘积,其中一个是2的幂,而另一个则是下一个2的幂减去1

9.     毕达哥拉斯最重要的贡献是以其名字命名的定理,即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

10.  虽然中国人和巴比伦人实际上使用这个定理还要早一千年,但这些文明并不知道这个定理对一切直角三角形都是对的。毕达哥拉斯第一个证明了它的普遍正确。(别再称它勾股定理了。)

11.  毕达哥拉斯定理是数学史上的一个里程碑,是文明史上最重要的突破之一。这个发现是如此重要,以致人们用一百头公牛作为祭品来表示对诸神的感恩。

12.  这个定理有两方面的重要意义。首先,它发展了证明的思想。一个被证明了的数学结果具有比任何别的真理更可靠的真实性,因为它是一步接一步的逻辑结果。它的第二个重要性是将抽象的数学方法与有形的实体结合起来了,数学的真理可以应用于科学世界并为其提供逻辑基础。

13.  毕达哥拉斯兄弟会可能早就发现了无理数,只是由于毕达哥拉斯如此厌恶这个概念,以致他否认了这种数的存在。传说他处死了发现无理数的希帕索斯。后来欧几里得用反证法证明了无理数的存在。

14.  费马大定理:x^n+y^n=z^n,当n大于2时没有整数解(x,y,z不能为0

15.  费马出生于1601年。他是一名文职官员,晋升很快,使他有资格用de作为他姓氏的一部分。费马把业余时间都用在数学上,被称为“业余数学家之王”。他的才华如此出众,以至于库利奇写作《业余大数学家的数学》时将他排队在外,理由是他应该算作专业数学家。

16.  17世纪初,数学还正在从中世纪的黑暗时代中恢复,还不是很受重视的学科。当时巴黎数学家有保密的传统。有位梅森尼神父决定与这种保密习惯作斗争,鼓励数学家们交流思想,互相促进。这位修道士安排定期的会议,他的小组后来形成了法兰西学院的核心。

17.  尽管梅森尼神父一再鼓励,费马仍固执地拒绝公布他的证明。这位天才有一种恶作剧的癖好。他会写信叙述他的最新定理,却不提供相应的证明。发现这个证明就成了他对其他数学家的一种挑战。

18.  费马与帕斯卡一道奠定了概率论的基础。费马还在微积分领域作出了很大贡献。在一个注记里,牛顿写道,他在“费马先生画切线的方法”的基础上发展了微积分。

19.  公元前三千年代,巴比伦人就已经懂得用零来避免混淆,希腊人采用了他们的思想,使用了类似于今天所用的圆形记号。印度人认识到零除了在别的数之间起空位作用外还有它独立的存在性——零本身应当是一个数,表示“没有”这个抽象概念。

20.  所有的古希腊哲学家,包括亚里士多德,都否认零的深刻意义。他认为数零应该是非法的——用零除任何一个数会导致不可理解的结果。到了公元6世纪,印度数学家们不再掩盖这个问题,7世纪的婆罗门芨多把“用零除”作为无穷大的定义。

21.  西方数学的重大转折点出现于1453年,这一年土耳其人攻占了君士坦丁堡。拜占庭帝国的学者们携带着他们能保存的所有书籍向西方逃遁。几卷珍贵的《算术》终于回归欧洲。

22.  贝切特将希腊数学家丢番图的《算术》翻译成拉丁文。他的译本每一页都留有宽大的空白。费马有时在这些空白上写下推理和评注。对于后代的数学家来说,这些注记是非常宝贵的记录。

23.  “亲和数”是一对数,其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达哥拉斯学派发现220284是亲和数,这一对数被认为是友谊的象征。中世纪出售过一种护身符,刻有这两个数字,能促进爱情。情侣分吃刻有这两个数字的水果,据一位阿拉伯数字占卦家记载,可以促进情欲。

24.  毕达哥拉斯之后,直到1636年费马发现1729618416这对数之前,都没有别的亲和数被确认。费马掀起了一阵寻找亲和数的热潮。

25.  费马在《算术》的页边处写下:“不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的和。”他又写下一个附注:“我有一个对这个命题的十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。”

26.  费马去世后,他的长子决心不让世界失去父亲的发现。他花了5年整理父亲的注记和信件,并将这些注记在《算术》的一个特殊版本中发表,名为《附有费马评注的丢番图的算术》,上面有费马的48个评注。

27.  费马的注记包含了一系列定理,但这些评注最多给出对证明的一点点提示。补全所有细节就成为后世数学家的挑战。

28.  素数可分为两类,一类等于4n+1,一类等于4n-1。费马的素数定理断言,前一类素数总能写成两个平方数之和,而后一类则不能写成这种形式。费马去年后一个世纪,18世纪最伟大的数学家欧拉经过7年的工作,才成功证明了这个素数定理。

29.  随着几个世纪时光的流逝,其他评注一个接一个地被证明了,只剩下费马大定理,所以它被称为最后定理,声名远扬。

30.  费马在他那本《算术》书中别的地方隐蔽地描述了对n=4时的一个证明。欧拉在此基础上,利用了虚数的概念,将费马的证明从n=4延伸到包括n=3的情形。但他也无法再进一步了。

31.  下一个进展来自热尔曼,她是19世纪少有的女数学家。如果某素数p,2p+1也是素数,针对这一类素数p,热尔曼证明方程x^n+y^n=z^n大概不存在解。所谓“大概”是指,如果有解存在,则x,y的一个或z将是n的倍数,从而对解加上非常严格的限制。

32.  在热尔曼的突破性工作之后,法国科学院设立奖金,包括金质奖章和3000法郎,以奖励最终能证明费马大定理的数学家。拉梅和柯西宣布竞争这个奖项,他们陆续发表了一些证明的概要。

33.  无论是拉梅,还是柯西都没能胜出。德国数学家库默尔分析了柯西和拉梅透露出的少数细节,他们的证明都利用了数的“唯一因子分解”性质,同时他们的证明又都用到了虚数。库默尔指出,引入虚数之后,唯一因子分解就不一定成立了。

34.  库默尔认证了费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的。最终,法国科学院撤消了竞赛,而将奖金授予库默尔。

35.  德国实业家沃尔夫斯凯尔因失恋而准备自杀。他是一个严谨的人,于是定下了自杀的日子,决定在零点自杀。他处理了各项事务,写下遗嘱,并给亲朋好友都写了信。做完这一切,还有几个小时才到预定的自杀时间,作为一个数学爱好者,于是他研读库默尔的经典论文以消磨时间。

36.  结果他发现库默尔的认证似乎有一个漏洞,有一段证明并不充分。于是他作出一个小证明,这个证明或者能补救库默尔的工作,或者是完全推翻它。直到黎明时分他的工作才完成,库默尔的证明被补救了。

37.  错过了自杀时间,却发现并改正了库默尔工作中的一个漏洞,沃尔夫斯凯尔感到无比骄傲,重新唤起生的欲望。沃尔夫斯凯尔重写了遗嘱。1908年他去世时,将财产中的一大部分,10万马克,作为奖金,奖给任何能证明费马大定理的人。

38.  虽然奖金丰厚,数学家们却无动于衷,因为他们不愿把精力浪费在一个不可能证明的课题上。奖项公布之后的几个星期内,来自业余数学爱好者的论文淹没了评奖委员会。有些参赛者还将解答寄给其他数学研究机构。

39.  数学作家伽德纳的一个朋友也收到大量解答。他的办法是,回寄一张字条,解释说他没有能力研究寄来的证明,但是可以提供一位有能力的专家的姓名和地址——也就是最近寄给他证明的另一位业余爱好者。

40.  至于伽德纳本人,他的答复则更有费马风范,他回复道:“我有一个很好的证明反驳你试图完成的证明,但不幸的是这张纸不够大,以致无法写下。”

41.  一个笑话:天文学家、物理学家和数学家(据说)正在苏格兰,从车上向外看见一只黑羊。天文学家说,“所有苏格兰羊都是黑色的!”物理学家说,“某些苏格兰羊是黑色的!”数学家则吟诵起来:“在苏格兰至少存在着一块田地,至少有一只羊,这只羊至少有一侧是黑色的。”

42.  上面这个笑话意在说明数学家的严格。其实那个括号里的“据说”更体现这个笑话的精髓,哈哈。

43.  自古希腊以来,数学已积累了越来越多的定理和事实,数学家们担心它们中有部分未被严格证明。所以逻辑学家决定从基本原理出发将每一个定理证明一遍。最终逻辑学家发现自己正在处理几个最本质的命题,它们是如此的基本以致不可能再被证明。这些基本的假定就是数学中的公理。

44.  众多逻辑学家参与了这个只使用最少个数的公理来重建无比复杂的数学知识大厦的过程,整个计划由那个时代最杰出的人物希尔伯特领导。希尔伯特相信,数学中的一切能够而且也应该根据基本的公理加以证明。

45.  这样,最终将证明数学体系中的两个最重要的基本要求。首先,数学应该有能力回答每一个问题——即完全性要求;其次,数学不应该有不相容性——就是说,如果用一种方法证明某个命题是对的,那么就不可能用另一种方法证明同一命题是错的。

46.  1900年希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了一个历史性的演讲。他提出数学中的23个未解决的问题,认为这些是最迫切需要解决的重要问题。大多数问题集中于数学的逻辑基础。

47.  1902年,为希尔伯特的伟大计划作努力的英国逻辑学家罗素却有了一个毁灭性的发现。他碰到了一种不相容性。罗素的工作将给建立无怀疑的、相容的和无悖论的数学体系的梦想带来巨大的灾难。

48.  罗素悖论经常用一个图书管理员的故事来说明。图书管理员发现,有些目录册把自己也列在其中,另一些目录册则不将自己列入。图书管理员制作了两本大的目录册,其中一本列出所有将自己列在其中的目录册,另一本则列出所有不将自己列在其中的目录册。

49.  图书管理员发现一个问题:列出所有不将自己列在其中的目录册的那个大目录册是否应该在本身中列出?如果列出,那么按照定义,它不应该被列出。然而,如果不列出,那么按照定义,它应该被列出。这就出现了悖论,而数学不允许不相容性、悖论或者矛盾。

50.  罗素的工作动摇了数学的基础,使数理逻辑的研究处于混乱的状态。一种解决方法是,再添加一条公理,规定任何类不能是自身的一个成员,从而规避罗素悖论。罗素又花了10年时间考虑数学公理,对他自己的悖论所引起的问题给出部分解答。看起来数学正在回到重建的道路上。

51.  1931年,25岁的哥德尔发表了一篇论文,迫使数学家们承认数学永远不可能在逻辑上完美无缺的。他证明了,要想创立一个完全的、相容的数学体系是一件不可能做到的事情。

52.  许多数学家相信,哥德尔的不可判定命题只在最极端的情况下才会出现,因而可能永远也不会碰到。然而1963年,29岁的科恩发展了一种可以检验给定的问题是不是不可判定的方法。科恩证明了希尔伯特提出的23个问题之一——连续统假设是不可判定的。

53.  哥德尔和科恩的工作使那些尝试证明费马大定理的数学家们相当烦恼——或许费马大定理是不可判定的!奇怪的是,如果费马大定理是不可判定的,那么这将隐含着它必定是对的。因为如果它是错的,就有可能找到一个反例,那么它就是可判定的。总之,费马大定理可能是对的,但可能没办法证明。

54.  1955年,日本数学家谷山和志村提出一个猜想,认为每个椭圆方程必与一个模形式相关。椭圆方程与模形式是表面上完全不同的研究方向,它们之间的联系暗示着存在某种深藏的真理。正如电和磁当初被当作两个完全独立的现象来研究,后来才发现它们密切相关。

55.  虽然谷山-志村猜想未被证明,许多数学家开始探究如果它被证明,那么会出现什么结果,最后形成了大量依赖于谷山-志村猜想正确性的数学。这一猜想于是成了一座新的数学大厦的基石,但在这一猜想被证明之前,这座大厦是极其脆弱的。

56.  1984年,弗赖提出了引人注目的论断,即如果能证明谷山-志村猜想,那么立即就能证明费马大定理。弗赖通过将费马方程转变为一个椭圆方程,将费马大定理与谷山-志村猜想联系了起来。

57.  弗赖同时提出,如果费马大定理是错的,由费马方程的一个解做出的椭圆方程是非常古怪的,以致于它似乎不可能与一个模形式相关,从而推翻谷山-志村猜想。

58.  弗赖的证明还缺少一个环节,即证明弗赖的椭圆方程不能模形式化。1986年,这项工作由里贝特完成了。现在,17世纪最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在一起,一个在历史上和感情上极为重要的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联结在一起。

59.  现在轮到最后的关键人物安德鲁.怀尔斯出场了。

60.  1963年,10岁的怀尔斯被埃里克.贝尔写的《大问题》吸引住,这本书含有各种难解的科学难题和数学之谜,答案写在书最后。书中只有一个问题没有解答,它看上去如此简单,正是一个10岁的孩子所能理解的问题。怀尔斯决心解决它。

61.  1975年,怀尔斯在剑桥大学攻读博士学位。他的导师科茨为他选择的课题正是椭圆方程。怀尔斯取得了学位,并没有意识到他正在积累着经验,多年后将他引向证明费马大定理的成功之路。

62.  1986年,身为普林斯顿大学教授的怀尔斯得知里贝特证明了谷山-志村猜想与费马大定理之间的联系。此其时也,怀尔斯决定全身心地投入这个问题。他曾全面地估计过,任何认真的证明费马大定理的尝试很可能需要10年的专心致志的努力。

63.  怀尔斯先花了18个月熟悉所有关于椭圆方程和模形式的数学知识。除了必要的教学工作,他放弃了所有与证明费马大定理无关的工作,躲在家中的书房,完全独立和保密地进行研究。这很不寻常,因为现代数学已发展成为合作性的文化。他解释说,保密是为了不受干扰。

64.  怀尔斯保密的另一个动机想必是对荣誉的渴望。他害怕会出现这样的局面:他完成了证明的主要部分,但如果他的突破工作被公开,最后的演算却可能由他人完成。

65.  为了不引起怀疑,怀尔斯使了个障眼法。他将已完成的一项关于椭圆方程的研究分拆开来,每半年左右发表一篇小论文。只有他妻子一人知道他实际在做什么。

66.  经过6年的艰苦努力,怀尔斯相信胜利已经在望。为了确保不出纰漏,19931月,怀尔斯请他的同事凯兹教授帮忙验证部分演算,当然,这也是在保密的情况下进行的。5月的一天,怀尔斯完成了最后一族椭圆方程的证明。他告诉妻子,费马大定理已解决了。

67.  这年6月在剑桥牛顿研究所有一个会议,组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨。怀尔斯想母校是宣布这个证明的好地方,于是向科茨要求了三次演讲时间。科茨知道他有个大结果要宣布,但不知道它是什么。

68.  数论方面的杰出人物陆续来到牛顿研究所。621日、22日,怀尔斯做了两次报告,并没有透露出这系列演讲的最终目的是什么。谣言开始传开,以致剑桥数学界的每一个人都来听623日的最后一次演讲。

69.  一位剑桥研究生到赌注经纪人那里,用10英镑打赌费马大定理将在一周内被解决。这名经纪人感到不妙,拒绝接受他的赌注——因为这已是那天找这个经纪人洽谈的第五个学生了,他们都要求打同一个赌。

70.  1993623日,怀尔斯宣布了他的证明。里贝特带着照相机以便记录这个重大事件,他说,大家都意识到正在参与一个历史性事件。

71.  志村教授是在纽约时报上看到他自己提出的猜想的证明的。谷山已在30年前自杀。在许多专业数学家看来,证明谷山-志村猜想是比解决费马大定理更为重要的成就,因为它对许多别的数定理有巨大的影响。但媒体只关注于费马,顶多顺便提及谷山-志村。

72.  怀尔斯成了世界上最著名的,事实上是唯一著名的数学家。《人物》杂志将他评为本年度25位最具魅力者之一,与戴安娜王妃同列。一家国际制衣大企业请他做男装广告。

73.  怀尔斯将他的手稿投交《数学发明》杂志。怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法,它的编辑梅休尔作出了一个特殊的决定,他指定了6个审稿人,而不是通常的23个。200页的证明被分为6章,每个审稿人负责其中一章。

74.  负责第3章的是凯兹,他又请伊卢齐作为合作审稿人。8月底,凯兹发现了一个问题,似乎仅仅是一个小问题。到了9月份,怀尔斯认识到这不是一个无足轻重的问题,而是一个重大缺陷。

75.  现在,怀尔斯的论文迟迟不能发表,外界的猜测和流言开始增多。12月,怀尔斯发表公告,承认有一个问题还没有解决。不顾外界的压力,怀尔斯拒绝公开手稿。经过7年努力,他不愿坐等别人完成证明,攫取荣誉。

76.  7年中,怀尔斯仔细考虑过各种方法,其中包括伊娃沙娃理论,未奏效,后来发现了科利瓦金-弗莱切方法。而在宣布证明之后,却发现科利瓦金-弗莱切方法是有缺陷的,而且无法补救。

77.  19949月,怀尔斯几乎打算承认失败了。他决定最后一次检视科利瓦金-弗莱切方法的结构,试图判断它不能奏效的原因。突然间,他发现,虽然科-弗方法不能行得通,却可以利用它使原先采用过的伊娃沙娃理论奏效。

78.  怀尔斯永远不会忘记这个充满灵感的瞬间。他回忆说,“它真是无法形容的美,它又是多么简单和明确。我无法理解我怎么会没有发现它。”怀尔斯妻子的生日在10月,他把完成的手稿送给妻子,这是去年她想要而怀尔斯未能给予的礼物。

79.  这一次不再有怀疑了。两篇论文共130页,是历史上核查得最彻底的数学稿件,最终发表在19955月《数学年刊》上。怀尔斯实际上汇集了20世纪数论中所有的突破性工作,并把它们融合与一个万能的证明。他创造了全新的数学技术,开辟了处理许多其他问题的新思路。

80.  19976月,怀尔斯收到沃尔夫斯凯尔奖金。我们记得1908年这笔奖金是10万马克,折算现值约100万英镑。经过两次世界大战和通货膨胀,只剩5万美元啦。

81.  怀尔斯用到的方法是费马那个时代没有的,那么费马是怎么证明的呢?数学家们分成两派。怀疑论者认为费马可能只是发现了一个有缺陷的证明。乐观主义者则认为费马可能有一个巧妙的证明,一个非常狡猾的论证,以致从欧拉到怀尔斯之间的所有人都未发现。

82.  本书附录提供了毕达哥拉斯定理的证明,欧几里得根号2是无理数的证明,还有归纳法证明的例子等,也很有营养。

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